Как определить процентную ставку

Как рассчитать проценты по вкладу (депозиту), определить прибыль, доходность банковского вклада или депозита. Примеры расчетов реальных процентных ставок по кредитам с учетом сложных процентов с помощью финансовых функций НОМИНАЛ и ЭФФЕКТ. Формула расчета эффективной ставки по старой функции БС.

Какая реальная процентная ставка сложных процентов годовых

Существует 2 направления дисконтирования (пересчет сумм с учетом процентных ставок): номинальный и эффективный.

1. Номинальное дисконтирование – процентная ставка, указывается вместе с периодом капитализации. Например, годовая процентная ставка 3,75% годовых с ежемесячной капитализацией. В данном примере 3,75% является номинальным дисконтированием использовано на протяжении года, а периодом капитализации является один месяц. Но при ежемесячной капитализации по правилам вычисления сложных процентов сумма за год вырастет больше чем на 3,75% в результате мы получим эффективную процентную ставку 3,82%.
2. Эффективное дисконтирование – определяет размер фактических (реальных) уплаченных процентов. Если номинальный период дисконтирования такой же, как и период капитализации (например, процентная ставка годовых с ежегодной капитализацией), тогда номинальное дисконтирование является равным эффективному дисконтированию. Однако если период капитализации короче номинального периода дисконтирования, как обычно бывает в практике, тогда эффективное дисконтирование выше, чем номинальное.

Для расчета эффективной процентной ставки в Excel используется функция ЭФФЕКТ, а для номинальной – НОМИНАЛ. Приведем простой пример на рисунке о выше описанных фактах:

Ниже на рисунке представлено 12 выбранных периодов капитализации для тридцатилетнего кредита. Начальная сумма кредита составляет 165 000. Номинальное дисконтирование с ежемесячной капитализацией 3,75% годовых, а ежегодный платеж составляет 9169,68.

На рисунке приведены сразу 2 варианта расчета эффективных процентных ставок по кредиту. В каждом периоде начинается капитализация, но не внесенный взнос платежа по кредиту, долг повышается на размер процентов. Каждый внесенный платеж по кредиту состоит из двух частей:

1. Сумма процентов – оплата за пользование кредитом.
2. Тело кредита – часть для закрытия суммы долга кредита.

Ячейка E17 содержит сумму процентов, начисленных на протяжении года. Ее значение разделено на начальную сумму долга и возвращено результатом в ячейке E18. Для перерасчета ставки дисконтирования в Excel нет необходимости строить целую хронологию всех платежей по кредиту за период 30 лет. Программа Excel предлагает специальные функции ЭФФЕКТ и НОМИНАЛ, которые позволяют без графика платежей вычислить номинальную и эффективную процентную ставку:

Обе функции ЭФФЕКТ и НОМИНАЛ имею по 2 аргумента:

1. Факт сковка – тип дисконтирования который должен быть использован: для функции ЭФФЕКТ следует указать номинальный, а для обратной ей функции НОМИНАЛ – эффективный.
2. Количество периодов – период капитализации.

В случае с функцией НОМИНАЛ следует указать эффективный метод дисконтирования, а в случае с функцией ЭФФЕКТ – наоборот номинальный. Второй аргумент с количеством периодов определяет число периодов капитализации на протяжении всего срока текущего взноса платежа. В данном примере этот период составляет 1 год, так как был использован термин ежегодный платеж. Год состоит из 12-ти месяцев, номинальное дисконтирование разделено на 12 периодов капитализации. Если бы в условиях кредитования, в котором годовой платеж имел бы ежедневную капитализацию, тогда во втором аргументе функции нужно указывать значение 365.

Размер ставки и инфляция

Процентная ставка может быть номинальной и реальной:

• Номинальная — установленная банком.
• Реальная — с поправкой на инфляцию.

Реальная ставка i real меньше номинальной i nom на уровень инфляции π.

i real = i nom — π.

Эту формулу обычно используют при маленьком уровне инфляции. При большом инфляционном уровне расчеты производят по более сложной формуле Фишера:

i real = (i nom — π)/(1 + π).

Реальная цена денег

Чтобы определить реальную стоимость денег с учетом инфляции через какое-то время, используют формулу:

R= N/(1+i)ª.

R — реальная стоимость денег;

N — номинальная стоимость;

i- инфляционная ставка;

a — количество периодов (лет, месяцев и т. д.).

Банки обычно повышают процентную кредитную ставку в периоды повышенной инфляции, закладывая ее рост в номинальную ставку. Такой шаг, помимо борьбы с понижением цены денег, дает им возможность поднять процентную ставку по депозитам, чтобы не лишиться вкладчиков.

Формула простого процента

Простой процент – это когда процент по вкладу начисляется в конце срока. Например, открыт вклад на год, с выплатой процентов в конце срока вклада, значит будут применять эту формулу.

Расчет простых процентов.
S = (P x I x t / K) / 100
I – годовая процентная ставка
t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу
K – количество дней в календарном году (365 или 366)
P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств
S – сумма начисленных процентов.

Пример второй – Капитализация процентов ежеквартально

Капитализация процентов ежеквартально

Капитализация процентов – ежеквартально. Применяем формулу сложных процентов. Действуем по аналогии с первым примером. Но, обращаю ваше внимание на достаточно распространенную ошибку при расчете. Многие, при расчете ежеквартальной капитализации, подставляют в формулу j – неправильное количество дней. Нужно ставить не 30 или 31 день, по количеству дней в месяце, а количество дней за общий календарный период. Для этого мы суммируем количество дней за 3 месяца каждого квартала.

• В первом квартале – это будет 90, либо 91 день, в зависимости от того, сколько дней в феврале, например: Январь (31 день) + Февраль (28 дней) + Март (31 день) = 90 дней.
• Во втором квартале – это будет 91 день: Апрель (30 дней) + Май (31 день) + Июнь (30 дней) = 91 день.
• Во третьем квартале – это будет 92 дня: Июль (31 день) + Август (31 день) + Сентябрь (30 дней) = 92 дня.
• Во четвертом квартале – это будет 92 дня: Октябрь (31 день) + Ноябрь (30 дней) + Декабрь (31 день) = 92 дня.

1 кв.: S=(100 000 х 14 х 90 / 365) / 100
S=3452,05 руб. Прибавляем это к первоначальной сумме. Получаем 103452,05 руб. Дальше по аналогии с первым примером.

Формула сложного процента

Сложный процент – это когда в течение срока вклада, производится капитализация процентов внутри срока вклада (ежемесячно, ежеквартально). Например, открыт вклад на год. Если в течение года будет происходить капитализация процентов, значит будут применять формулу для расчета сложных процентов.

Расчет сложных процентов.
S = (P x I x j / K) / 100
I – годовая процентная ставка
j – количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов
К – количество дней в календарном году (365 или 366)
P – Первоначальная сумма привлеченных во вклад денежных средств, а также последующая сумма с учетом капитализации процентов
S – сумма денежных средств, причитающаяся к возврату, равная первоначальной сумме привлеченных средств плюс начисленные капитализированные проценты.

Процентная ставка определяет цену денег

В любом из этих двух случаев процентная ставка имеет оценивающее денежное измерение: какими будут сбережения вкладчика или банка через месяц, год или несколько лет.

Процентная ставка по депозитам вкладчиков обычно ниже ставки по банковским кредитам. В этом заключен основной заработок банковских и финансовых учреждений — взять деньги по меньшей цене и распорядиться ими, переодолжив по более высокой.

Для вкладчиков же депозит — это в основном способ сохранения денежных средств, а не заработка, так депозитные ставки сейчас низки, а в некоторых банках Европы они даже отрицательные.

Базовая процентная ставка — это наименьший кредитный процент, предоставляемый крупным надежным кампаниям и клиентам. БПС обычно устанавливается центральными банками.

Задача1 – Выплата кредита

Определим под какую годовую ставку мы можем взять 100 000 руб., выплачивая ежемесячно 3000 руб. в течение 5 лет.

Примечание. Аннуитетная схема погашения кредита подробно рассмотрена в статье Аннуитет. Расчет периодического платежа в MS EXCEL. Погашение ссуды (кредита, займа).

В условии задачи содержится следующая информация:

• Заемщик должен сделать 60 равновеликих платежей (12 мес. в году*5 лет), т.е. всего 60 периодов (Кпер);
• Проценты начисляются в конце каждого периода (если не сказано обратное, то подразумевается именно это), т.е. аргумент Тип=0;
• В конце срока задолженность должна быть равна 0 (БС=0).

В результате формула для вычисления годовой ставки будет выглядеть так =12*СТАВКА(12*5;-3000;100000;0;0) или =12*СТАВКА(12*5;-3000;100000)
Знак минус у регулярного платежа показывает, что мы имеем разнонаправленные денежные потоки: +100000 – это деньги, которые банк дал нам, -3000 – это деньги, которые мы возвращаем банку.
Результат вычисления = 26,10%

Формула может вернуть отрицательные значения ставки. Это происходит, когда сумма всех регулярных платежей недостаточна для погашения кредита даже при 0 ставке. Но, в нашем случае все в порядке: 60*(3000)=180000>100000. Отрицательная ставка означает, что банк выплачивает нам проценты за пользование кредитом, что является абсурдом. Это, конечно, ошибка (попробуйте например, в файле примера на Листе Выплата установить платеж =-1000).

Если задать платеж = 0 или того же знака, что и сумма кредита, то функция СТАВКА() вернет ошибку #ЧИСЛО! Это и понятно, при нулевых платежах погасить кредит невозможно.

Примечание. С помощью Подбора параметра можно найти величину регулярного платежа, который бы обеспечил выплату кредита при заданной процентной ставке (обратная задача). Но, по большому счету, в этом нет необходимости – для этого существует функция ПЛТ().

Пример первый – Капитализация процентов ежемесячно

Капитализация процентов ежемесячно

В этом случае, мы применяем формулу сложных процентов, так как капитализация процентов происходит ежемесячно.

Янв: S=(100 000 х 14 х 31 / 365) / 100
S=1189,04 руб.

Далее, получившийся процент в размере 1189,04 руб., мы прибавляем к нашему первоначальному вкладу в размере руб. Получаем 101 189,04 руб. Так выглядит ежемесячная капитализация. Дальше февраль рассчитываем аналогичным образом, не забывая про то, что в феврале 28 или 29 дней.

Фев: S=(101 х 14 х 28 / 365) / 100
S=1086,74 руб. (сумма получилась меньше, так как в феврале было меньше дней, чем в предыдущем месяце). Прибавляем полученные проценты к 101189,04 = 102275,78 руб. И так далее, полученные проценты прибавляем к предыдущей сумме и расчет нового месяца делаем с учетом первоначального вклада и всех накопленных процентов.

Виды ставок

Фиксированные и плавающие ставки

Процентные ставки бывают:

• Фиксированными — неизменными в течение определенного срока.
• Плавающими — изменяемыми и периодически пересматриваемыми банком, в зависимости от некоторых показателей.

Так, классическим показателем является LIBOR — средняя ставка лондонской межбанковской кредитной биржи.

Многие банки определяют плавающую ставку по формуле: LIBOR + n, где n — фиксированная ставка конкретного банка.

Банки России могут ориентироваться на независимую индикативную ставку, например, MosPrime Rate.

Кредитополучателю на растущем рынке кредитных ставок выгодней брать кредит по фиксированной процентной ставке.

Декурсивные и антисипативные ставки

По времени выплаты ставки бывают:

• декурсивными — выплачиваемыми в конце вместе с возвратом кредита;
• антисипативными — выплачиваемыми авансом при предоставлении кредита.

Декурсивные ставки выгодны для заемщиков, а антисипативные — для кредиторов, но банки обычно действуют в своих интересах:

• проценты на депозитах рассчитываются декурсивным способом,
• кредитные — антисипативным: при выдаче кредита сразу определяется суммарный процент, который затем делится на количество периодов (обычно месяцев).

Декурсивный и антисипативный способы используются при подсчете простых и сложных процентов, когда первоначальная сумма капитала в каждом отчетном периоде меняется.

• Декурсивный способ удобно использовать при плавающих ставках.
• Антисипативный способ удобен в периоды нестабильности в качестве гаранта выплаты сложных процентов.

Декурсивную ставку еще называют ссудным процентом, так как она определяет отношение полученного дохода (процентов) к начальной денежной сумме.

Как рассчитать ссудный процент и сумму наращивания

Формула определения ссудного процента:

i = I/P (1), где:

• i (income) — ссудный процент;
• I — сумма всех начисленных за отчетный период процентов;
• P — первоначальная денежная сумма (present value).

Сумма наращивания F (future value) определяется по формуле:

F = P + i*n*P = P*(1 + i*n). (2)

Здесь n — количество расчетных периодов.

Отношение F/P - это коэффициент наращивания kn.

kn = 1 + i*n. (3)

Подсчет суммы наращивания F называется компаундингом.

Компаундинг на примере расчета

1. Произведем компаундинг банковского кредита размером в 1 млн руб., выданного под 12% годовых (простой ставке), сроком на 10 лет по формуле (2)

F = 1 000 000 *(1 + 0,12 *10) = 2 200 000 руб.

2. Рассчитать сумму наращивания можно и за небольшой период (меньше года). В этом случае формула определения F (2) преобразуется:

F = P * (1 + i * d/K). (4)

• d — количество календарных дней, на которые взят кредит;
• K — количество дней в году, т. е. 365 или 366.

Рассчитаем наращенную сумму кредита в размере 50 000 руб, выданного МФО под указанный в договоре годовую простую ставку в 15% сроком на 91 день.

Вставив значения в формулу (4), получим:

F = 50 000 * (1 + 0,15 *91/365) = 51 870 руб.

Часто банки и МФО требуют вернуть суммы больше расчетных — это означает, что были насчитаны дополнительно скрытые проценты в виде всевозможных комиссий. Перед заключением договора следует внимательно прочитывать все его пункты в поисках незаконных способов наращивания капитала.

Аналогично можно рассчитать, сколько денег заработает вкладчик, положив деньги на депозит.

Дисконтирование

Обратная операция — расчет первоначальной суммы P по наращенной F — называется дисконтированием.

Дисконтирование считается по формуле:

P = F/ (1 + i*n). (5)

К примеру, необходимо посчитать, сколько денег P нужно положить на трехгодичный депозит с простой ставкой 10%, чтобы накопить сумму F в размере 100 000 руб.

Произведем расчет по формуле (5):

P = 100 000/(1 + 0,1*3) = 76 923 руб.

Расчеты при плавающей ставке

Если ставка плавающая, то наращенная сумма рассчитывается путем суммирования ставок за каждый период их изменения, и формула преобразовывается в некую абстрактную:

F = P *(1 + ∑(1…N) n*i) (6), где:

• n — период от одного до N;
• i- переменная величина ставки;
• ∑(1…N) — сумма произведений n*i за все расчетные периоды.

Выглядит страшно на первый взгляд, а как это происходит, очень легко понять по примеру:

Необходимо рассчитать наращенную сумму кредита в размере 500 000, выданного на три года, с процентной ставкой за первый год — 11% годовых, если каждые полгода ставка с учетом инфляции возрастает на 1,5%.

Используем для расчета формулу (6):

F = 500 000 *(1 + 0,11 + 0.5 (0,125 + 0,14 + 0,155 + 0,17)) = 500 000 * = 702 500 руб.

Обратите внимание на то, что коэффициент наращивания k, рассчитываемый при фиксированном проценте по формуле (3), при плавающем проценте определяется выражением в скобках формулы (6):

K = 1 + ∑(1…N) n*i. (7)

В данном примере его величина — .

Расчеты сложных процентов

Этот метод расчета в банковской сфере используется при начислении процентов на долгосрочных депозитах, когда процент начисляется на наращенную предшествующими процентами сумму.

Формула расчета сложных процентов приведена на рисунке ниже.

Историческая справка о ставках

Исторические размахи ставок впечатляют:

• В Германии, например, базовая процентная ставка колебалась в диапазоне от 90% до 2% в периоды 1920 — 2000 гг.
• В Великобритании — 0,5 — 15% в 1989 — 2009 гг.
• В США ставка ФРС США в 1954 — 2008 гг варьировала между 19% и %.
• В Зимбабве в период гиперинфляции 2007 г. кредитная ставка доходила до 800%.